A Potpourri of Structured Krylov Subspace Methods : Approximated Exponential Integrators, Symplectic Model Order Reduction for Hamiltonian Systems, Krylov-Lagrangian Subspaces of Skew-Hamiltonian Matrices
This dissertation investigates structure-preserving Krylov subspace methods for the numerical integration and model reduction of large-scale Hamiltonian systems. Mathematical structures such as symplecticity, invariants, and conservation laws are fundamental for the accurate description of the qualitative behavior of dynamical systems. The first part of this work is devoted to the development and analysis of approximated exponential integrators that preserve the Hamiltonian structure. Various Krylov subspace methods for approximation are compared, and a short-recursion, structure-preserving variant is derived. These approximated integrators are subsequently applied within projection-based model reduction, where a new symplectic reduction method is proposed and successfully demonstrated on linear as well as nonlinear benchmark problems. Furthermore, challenges in the hyperreduction of nonlinear Hamiltonian systems are examined, revealing inherent structural limitations of existing approaches.
The second part of this work deals with isotropic and Lagrangian subspaces that arise as Krylov subspaces of skew-Hamiltonian matrices. Within this framework, matrices with minimal Frobenius and 2-norms are characterized, and a constructive procedure for generating matrices with prescribed eigenvalues is presented.
Diese Dissertation untersucht strukturerhaltende Krylovunterraumverfahren zur numerischen Integration und Modellreduktion großskaliger hamiltonischer Systeme. Mathematische Strukturen, wie Symplektizität, Invarianten und Erhaltungssätze, sind grundlegend für die präzise Beschreibung des qualitativen Verhaltens dynamischer Systeme. Der erste Teil der Arbeit widmet sich der Entwicklung und Analyse approximierter exponentieller Integratoren, die die hamiltonische Struktur bewahren. Verschiedene Krylovunterraumverfahren zur Approximation werden miteinander verglichen, und eine kurzrekursive, strukturerhaltende Variante wird hergeleitet. Diese approximierten Integratoren werden anschließend im Rahmen projektionsbasierter Modellreduktion eingesetzt, wobei eine neue symplektische Reduktionsmethode vorgeschlagen und anhand linearer sowie nichtlinearer Testprobleme erfolgreich demonstriert wird. Darüber hinaus werden Herausforderungen der Hyperreduktion nichtlinearer hamiltonischer Systeme untersucht, wodurch inhärente strukturelle Grenzen bestehender Ansätze aufgezeigt werden.
Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit isotropen und Lagrangeschen Unterräumen, die als Krylovunterräume schief-hamiltonscher Matrizen entstehen. In diesem Rahmen werden Matrizen mit minimaler Frobenius- und 2-Norm charakterisiert und ein konstruktives Verfahren zur Erzeugung von Matrizen mit vorgegebenen Eigenwerten vorgestellt.
Preview
Rights
Use and reproduction:
Access Statistic
