Simultaneous Bootstrap Inference for Autocovariances and Autocorrelations under strict stationarity
This thesis analyses simultaneous bootstrap inference for autocovariances and autocorrelations and examines structural identifiability of vector autoregressive models with singular innovation covariance matrix. The first part discusses the theory of two bootstrap methods that allow to conduct simultaneous inference for autocovariances and autocorrelations. Natural statistics in this case are maximum deviations of sample autocovariances and autocorrelations from their population counterparts. In contrast to classical multivariate asymptotic theory, we allow for the number of lags to increase with sample size. In the second part of the thesis, we generalize well-known results on structural identifiability of vector autoregressive (VAR) models to the case where the innovation covariance matrix is of reduced rank. Singular structural VAR models appear, for example, as solutions of rational expectation models where the number of shocks is usually smaller than the number of endogenous variables, and as an essential building block in dynamic factor models. We show that order conditions for identifiability are misleading in the singular case and we provide a rank condition for identifiability of the noise parameters. Since the Yule-Walker equations may have multiple solutions, we analyse the effect of restricting system parameters on over- and underidentification in detail and provide easily verifiable conditions.
We obtain results for a general class of physically dependent strictly stationary time series. Such a class includes many well-known linear and non-linear time series.
We show that the autoregressive (AR) sieve bootstrap, which is a classical time domain bootstrap method that is simple to apply to data, is asymptotically valid under the important condition that the number of lags grows with the number of observations to infinity. We also show that the AR-sieve bootstrap speed of convergence is of polynomial order if the underlying process is a linear time series. The convergence rate to the asymptotic distribution, which is of Gumbel-type, is at best of logarithmic order. In a next step we show that a dependent wild-type bootstrap is asymptotically valid for our maximum deviation statistics at a polynomial convergence rate. This result holds for physically dependent strictly stationary processes and it does not need the condition that the number of lags grows polynomially with the sample size. The number of lags is still allowed to grow polynomially. This makes it a valuable result for simultaneous statistical inference. In order to obtain such a result we apply modern tools of Gaussian approximation for sums of high-dimensional vectors.
Moreover we give potential applications including spectral density estimation and investigate by simulations the finite sample properties of both bootstrap proposals. In our finite sample study we observe that the AR-sieve and the dependent wild-type bootstrap work better than the asymptotic approximation. However, especially for non-linear time series undercoverage of simultaneous confidence bands can be observed for the AR-sieve. The dependent wild-type bootstrap which also captures higher order properties of the underlying time series performs better in such cases.
Diese Arbeit analysiert Bootstrapmethoden zur simultanen Inferenz für Autokovarianzen und Autokorrelationen und untersucht in einem zweiten Teil die strukturelle Identifizierbarkeit von Vektorautoregressiven Modellen mit singulärer Innovationskovarianzmatrix. Der erste Teil erörtert theoretische Resultate zu zwei Bootstrap-Methoden die gleichmäßige Inferenz für Autokovarianzen und Autokorrelationen erlauben. Natürliche Statistiken sind in diesem Fall maximale Abweichungen der Stichprobenautokovarianzen und -autokorrelationen von den jeweiligen Populationsgrößen. Im Gegensatz zur klassischen multivariaten asymptotischen Theorie lassen wir zu, dass die Anzahl der Lags mit dem Stichprobenumfang zunimmt. Wir erzielen Ergebnisse zu Validität und Konvergenzgeschwindigkeiten der Bootstrapverfahren für eine große Klasse von strikt stationären Prozessen. Diese Klasse umfasst viele bekannte Modelle für lineare und nichtlineare Zeitreihen. Wir zeigen, dass der autoregressive (AR) Sieve-Bootstrap, der eine klassische Bootstrap-Methode für den Zeitbereich und einfach auf Daten anzuwenden ist, unter der Bedingung, dass die Anzahl der Lags mit der Anzahl der Beobachtungen wächst, konsistent ist. Wir zeigen auch, dass die Konvergenzgeschwindigkeit des AR-Sieve-Bootstraps von polynomialer Ordnung ist, wenn der zugrunde liegende Prozess eine linearer Prozess ist. Dies macht ihn zu einem klaren Konkurrenten zur Approximation durch die asymptotische Verteilung, die vom Gumbel-Typ ist. Klassische Resultate zeigen, dass die in dieser Arbeit behandelteten Statistiken nur mit logarithmischer Rate gegen diese Extremwertverteilung konvergieren. In einem nächsten Schritt zeigen wir, dass ein Dependent Wild-Bootstrap für unsere Abweichungsstatistiken asymptotisch valide mit einer polynomialen Konvergenzrate ist. Dieses Ergebnis gilt für die große Klasse der funktional abhängigen strikt stationären Prozesse. Um dieses Ergebnis zu erzielen, verwenden wir Resultate der Approximation durch Gauß-Prozesse für Summen hochdimensionaler Vektoren. Darüber hinaus geben wir mögliche Anwendungen einschließlich der Schätzung der Spektraldichte an und untersuchen durch Simulationen die Eigenschaften beider Bootstrap-Methoden für endliche Stichproben. In den Simulationen sehen wir, dass der AR-Sieve und der Dependent Wild-Bootstrap besser funktionieren als die asymptotische Approximation. Insbesondere bei nichtlinearen Zeitreihen sind Unterschiede zwischen beiden Bootstrapverfahren sichtbar. Der Wild-Bootstrap, der auch Eigenschaften höherer Ordnung der zugrunde liegenden Zeitreihen erfasst, schneidet in diesen Fällen besser ab. Im zweiten Teil der Arbeit verallgemeinern wir bekannte Ergebnisse zur strukturellen Identifizierbarkeit von Vektorautoregressiven (VAR) Modellen für den Fall, dass die Innovationskovarianzmatrix von reduziertem Rang ist. Singuläre strukturelle VAR-Modelle erscheinen zum Beispiel als Lösungen von Rational-Expectation-Modellen, bei denen die Anzahl der Schocks in der Regel kleiner ist, als die Anzahl der endogenen Variablen, und als ein wesentlicher Baustein in dynamischen Faktormodellen. Wir zeigen, dass Ordnungsbedingungen für die Identifizierbarkeit im singulären Fall irreführend sind, und wir liefern eine Rangbedingung für die Identifizierbarkeit der Parameter des wei\ss{}en Rauschens. Da die Yule-Walker-Gleichungen mehrere Lösungen haben können, analysieren wir die Auswirkung der Einschränkung von Systemparametern auf Über- und Unteridentifikation im Detail und stellen leicht überprüfbare Bedingungen auf.
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