Entropy Aware Numerical Schemes for Hyperbolic Conservation Laws
Hyperbolic systems of conservation laws are known to produce discontinuous solutions in finite time.
These discontinuous solutions to a differential equation can be only carried on in the context of weak solutions.
Weak solutions are in general non-unique and additional criterions are needed to only allow physically relevant solutions.
Recent results show that classical entropy inequalities, i.e. the classical notion of entropy for equilibrium thermodynamics, are not sufficient.
Dafermos proposed the entropy rate criterion as an alternative criterion to select weak solutions.
A weak solution satisfying this criterion should dissipate entropy as fast or faster than all other weak solutions.
In this thesis Finite-Volume and Discontinuous Galerkin methods are presented that enforce this entropy rate criterion for numerical solutions.
Key to these schemes is the prediction of the maximal possible entropy dissipation by an exact weak solution.
This entropy decay is afterwards enforced for the approximate weak solutions calculated by the numerical schemes.
The new schemes show essentially non-oscillatory, robust and stable behavior over a wide range of testcases.
The tests used range from one-dimensional scalar conservation laws to transonic and supersonic solutions to the full Euler equations on unstructured meshes.
Hyperbolische Systeme von Erhaltungsgleichungen neigen selbst nach endlicher Zeit zu unstetigen Lösungen.
Solche unstetigen Lösungen zu zugrundeliegenden Differentialgleichungen können nur als schwache Lösungen weiter interpretiert werden.
Schwache Lösungen sind nicht eindeutig und zusätzliche Kriterien müssen gefordert werden, um nur physikalisch sinnvolle Lösungen zuzulassen.
Neuere Resultate zeigen, dass die klassischen Entropieungleichungen, also das Konzept der Entropie aus der Gleichgewichtsthermodynamik, nicht ausreicht.
Dafermos hat das Entropieratenkriterium als Alternative zur Auswahl von schwachen Lösungen vorgeschlagen.
Eine schwache Lösung, die dieses Kriterium erfüllen soll, muss Entropie mindestens genau so schnell oder schneller als jede andere schwache Lösung dissipieren.
In dieser Dissertation werden Finite Volumen und unstetige Galerkin Verfahren vorgestellt, deren numerische Lösungen dieses Kriterium näherungsweise erfüllen.
Der Schlüssel für die Umsetzung des Kriteriums in numerischen Verfahren sind Schätzer der maximal möglichen Entropiedissipation einer exakten schwachen Lösung.
Diese Entropierate kann dann für die Lösung der numerischen Methoden erzwungen werden.
Die neuen Löser erzeugen im Wesentlichen nicht oszillierende Lösungen und sind robust und stabil für eine große Bandbreite von Testfällen.
Die gelösten Testfälle reichen von eindimensionalen skalaren Erhaltungslgeichungen über trans und supersonische Lösungen zu den vollen Eulergleichungen auf unstrukturierten Gittern.
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