Representability of Density Matrices and Fermion Correlation Inequalities
Many-particle quantum systems are at the heart of all models of matter in physics and chemistry used in modern science and technology. Although the mathematical framework of such systems has not changed much since its creation in the mid 1920s, the analysis, especially of interacting systems, remains a complex and challenging endeavor. In this thesis we consider finite-dimensional fermion many-particle quantum systems and different methods for approximating the ground state energy. The first part belongs to the realm of representability theory. It studies the orthogonal projection πk of the space of linear operators on a finite-dimensional fermion Fock space onto the subspace of k-body operators in the Hilbert-Schmidt geometry. A proper understanding of this projection is intimately related to the so called representability problem. As main result, we explicitly construct an orthonormal basis of the space of fermion Fock space operators which can be restricted to an orthonormal basis of the space of k-body operators for all k. Using this orthonormal basis, we further derive explicit and basis-independent formulas for πk and k = 0,1,2 in terms of the usual reduced 1- and 2-particle density matrices. In the second part, we consider a Hubbard model with nearest neighbor interaction on a discrete d-dimensional torus of length L. We study the possibility of performing perturbation theory for this type of model starting from a Hartree-Fock approximation of this systems ground state and show that this approach fails, in general. More specifically, we expand the system around a Hartree-Fock ground state and derive relative bounds of the effective interaction with respect to the effective kinetic energy. As the main result, however, we show that there are no relative bounds uniform in the system size Ld.
Vielteilchen-Quantensysteme stehen im Zentrum aller Modelle von Materie aus Physik und Chemie, die in moderner Wissenschaft und Technologie verwendet werden. Ob- wohl sich der mathematische Formalismus dieser Systeme seit seinen Ursprüngen in den 1920er Jahren nicht viel verändert hat, bleibt die Analyse, insbesondere von wechselwirken- den Systemen, ein schwieriges mathematisches Problem. In dieser Arbeit betrachten wir endlich-dimensionale, fermionische Vielteilchen-Quantensysteme. Der erste Teil gehört in den Bereich der Darstellbarkeitstheorie. Darin untersuchen wir die orthogonale Projektion πk des Raums der linearen Operatoren eines endlich-dimensionalen fermionischen Fock-Raums auf den Unterraum der k-Körper-Operatoren bezüglich der Hilbert-Schmidt-Geometrie. Ein tieferes Verständnis dieser Projektion ist eng mit dem sogenannten Darstellbarkeitsproblem verbunden. Als Hauptresultat konstruieren wir eine explizite orthonormale Basis des Raums der Operatoren auf dem zugehörigen fermionischen Fock-Raum. Diese Orthonormalbasis besteht aus normal-geordneten Polynomen in den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und kann für alle k zu einer Orthonormalbasis des Raumes der k-Körper-Operatoren eingeschränkt werden. Mithilfe dieser Orthonormalbasis gewinnen wir eine explizite und basisunabhängige Darstellungen von πk für k = 0, 1, 2 in Termen der üblichen reduzierten 1- und 2-Teilchen-Dichtematrizen. Im zweiten Teil betrachten wir das Hubbard-Modell auf einem diskreten d-dimensionalen Torus der Länge L, welches mithilfe einer Bogoliubov-Transformation um einen seiner Hartree-Fock-Grundzustände entwickelt wird, mit dem Ziel, eine operatortheoretischen Störungstheorie zu entwickeln. Wir zeigen, dass dieser störungstheoretische Ansatz im Allgemeinen nicht funktioniert. Dazu zeigen wir zunächst die relative Beschränktheit der effektiven Wechselwirkungsterme im Vergleich zur effektiven kinetische Energie. Die hierzu gewonnenen relativen Schranken sind jedoch im thermodynamischen Limes L → ∞ unbeschränkt. Als Hauptergebnis zeigen wir, dass im thermodynamischen Limes keine gleichmäßigen relativen Schranken existieren.
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