Genera and Schur multipliers of torsion-free nilpotent groups of small Hirsch length

Cant, Alexander, Benjamin

doi:10.24355/dbbs.084-202401111602-0

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Genera and Schur multipliers of torsion-free nilpotent groups of small Hirsch length

English
German

A T-group is a finitely generated torsion-free nilpotent group. The Hirsch length of a T-group is the sum of the torsion-free ranks of the quotients of its lower central series, and the sequence of these ranks is the type of the group. The genus of a T-group is the set of all isomorphism classes of T-groups whose sets of isomorphism classes of finite quotients coincide with that of the given T-group. Two T-groups with the same genus have the same type, but they do not need to be isomorphic. Pickel (1971) showed that genera of T-groups are finite. Grunewald & Scharlau (1979) gave a classification of the T-groups of type (3,2) and of those of type (n,1) for n > 1 via parameterized presentations, and showed that the genus of such a T-group consists of a single element. Additionally, they presented a family of T-groups of type (4,2) with unbounded genera. In the first part of this thesis, we determine a description of the genera of the remaining T-groups of Hirsch length at most 5, which uses the classification of these groups by Eick & Engel (2017). Based on this, we investigate the sizes of the genera of the considered groups and extend Grunewald & Scharlau‘s example to families of T-groups with arbitrary Hirsch length > 3. Parts of our results on genera were published by Cant & Eick (2023). In the second part of this thesis, we determine closed forms for the Schur multipliers of certain families of T-groups, including a family of T-groups of unbounded Hirsch length, and address related concepts. For this purpose, we use an algorithm by Eick & Nickel (2008) and an approach known as combinatorial collection to evaluate consistency relations of parameterized presentations of a special form.

Eine T-Gruppe ist eine endlich erzeugte torsionsfreie nilpotente Gruppe. Die Hirsch-Länge einer T-Gruppe ist die Summe der torsionsfreien Ränge der Quotienten ihrer absteigenden Zentralreihe, und die Folge dieser Ränge ist der Typ der Gruppe. Das Geschlecht einer T-Gruppe ist die Menge aller Isomorphieklassen von T-Gruppen, deren Mengen von Isomorphieklassen endlicher Quotienten mit der der gegebenen T-Gruppe übereinstimmt. Zwei T-Gruppen mit demselben Geschlecht haben denselben Typ, aber sie müssen nicht isomorph sein. Pickel (1971) hat gezeigt, dass Geschlechter von T-Gruppen endlich sind. Grunewald & Scharlau (1979) haben eine Klassifikation der T-Gruppen vom Typ (3,2) und von denen vom Typ (n,1) für n > 1 durch parametrisierte Präsentationen angegeben und gezeigt, dass das Geschlecht solch einer T-Gruppe aus einem einzelnen Element besteht. Zusätzlich gaben sie eine Familie von T-Gruppen vom Typ (4,2) mit unbeschränkten Geschlechtern an. Im ersten Teil dieser Dissertation bestimmen wir eine Beschreibung der Geschlechter der übrigen T-Gruppen der Hirsch-Länge höchstens 5, welche die Klassifikation dieser Gruppen durch Eick & Engel (2017) nutzt. Aufbauend darauf untersuchen wir die Größen der Geschlechter der betrachteten Gruppen und erweitern Grunewald & Scharlaus Beispiel zu Familien von T-Gruppen mit beliebiger Hirsch-Länge > 3. Teile unserer Ergebnisse über Geschlechter wurden von Cant & Eick (2023) veröffentlicht. Im zweiten Teil dieser Dissertation bestimmen wir geschlossene Formen für die Schur-Multiplikatoren bestimmter Familien von T-Gruppen, inklusive einer Familie von T-Gruppen unbeschränkter Hirsch-Länge, und behandeln verwandte Konzepte. Zu diesem Zweck nutzen wir einen Algorithmus von Eick & Nickel (2008) sowie einen Ansatz, der als kombinatorische Collection bekannt ist, um die Konsistenzrelationen von speziellen parametrisierten Präsentationen auszuwerten.