A DMRG study of topological and many-body localised low-dimensional quantum spin systems
In this thesis, one-dimensional tensor network methods and exact methods are used to gain a better understanding of the occurrence, stability and properties of topological phases as well as many-body localised phases in one-dimensional and two-dimensional quantum spin systems. In theory, topological phases offer a decent way to launch the age of fault-tolerant quantum computation and reliable quantum memory, both required to achieve quantum supremacy for a broad range of computational challenges. The first system examined is the Kitaev chain, a one-dimensional toy model well-known for hosting a symmetry-protected topological phase that is characterised by the presence of effective Majorana fermions at the ends of the chain. Here, the Kitaev chain is studied in the presence of quasi-periodic disorder in the chemical potential suitable for intentional experimental introduction and interactions between neighbouring sites. It was discovered that quasi-periodic disorder initially strengthens the topological phase, but ultimately causes its destruction for large disorder strengths. This behaviour is similar to random disorder, although quantitative differences do exist. The sensitivity of topological phases against non-zero temperatures may be circumvented by making use of many-body localisation, which may allow the elevation of topological properties to the entire spectrum due to large random disorder in the chemical potential. For the Kitaev chain, it was only possible to calculate excited eigenstates for disorder strengths corresponding to the trivial phase, providing a strong indication for the mutual exclusiveness of topological order and many-body localisation. Afterwards, a quantum spin chain was considered known for hosting signatures associated with topological order in highly excited eigenstates due to a mutual coexistence of topological order and many-body localisation caused by disorder being an essential part of this system. The stability of the coexistence was then tested against additional disorderly perturbations by analysing spectra and entanglement properties, with the result that the system studied is always localised but that a transition from an excited topological phase to an excited trivial phase exists. Unfortunately, this system features three-site interaction terms, hard to realise experimentally. In the next step, it was then attempted to employ second-order Floquet engineering to overcome this roadblock and effectively realise this system by simulating its time dynamics through a periodically driven non-equilibrium system featuring only two-site interactions. The attempt was successful. Heating normally associated with driven systems is prohibited by the present many-body localisation and dynamic control over quantum information encoded in the system is demonstrated. The elevation of topological properties to high energies would also be helpful in two dimensions. For this reason, the Heisenberg XXZ model is studied on a square lattice in the presence of strong disorder to investigate whether many-body localisation is possible in two-dimensional lattices, which has been both doubted and claimed in the past. By analysing the bipartite entanglement entropy and local expectation values, a finite many-body localised phase was discovered, where an area law holds even for excited states. In addition to this, the critical disorder strength was estimated at which the many-body localised phase breaks down.
In dieser Dissertation wurden eindimensionale Tensornetzwerkmethoden und exakte Methoden eingesetzt, um das Auftreten, die Stabilität und die Eigenschaften von topologischen Phasen sowie vielteilchenlokalisierten Phasen in eindimensionalen und zweidimensionalen Spinsystemen besser zu verstehen. Zumindest theoretisch eignen sich topologische Phasen dazu, das Zeitalter der fehlertoleranten Quantencomputer und zuverlässigen Quantenspeicher einzuläuten; beides notwendig, um die Quantenüberlegenheit für ein breites Spektrum an numerischen Herausforderungen zu erreichen. Das erste System, das behandelt wurde, ist die Kitaev-Kette, ein eindimensionales Spielzeugmodell, berühmt dafür, eine symmetriegeschützte topologische Phase zu besitzen, welche sich durch das Auftreten effektiver Majorana-Fermionen an den Enden der Kette auszeichnet. Die Kitaev-Kette wurde hier in Anwesenheit von quasi-periodischer Unordnung im chemischen Potenzial, welche sich für eine absichtliche experimentelle Realisierung eignet und Interaktionen zwischen benachbarten Plätzen untersucht. Es wurde entdeckt, dass quasi-periodische Unordnung die topologische Phase zunächst stärkt, jedoch bei zu starker Unordnungsstärke letztendlich zerstört. Auch wenn quantitative Unterschiede existieren, ist dieses Verhalten ähnlich zu zufälliger Unordnung. Die Empfindlichkeit von topologischen Phasen gegenüber Temperaturen über dem absoluten Nullpunkt könnte umgangen werden durch das Zunutze machen von Vielteilchenlokalisierung, welche die Erhebung von topologischen Eigenschaften in das gesamte Spektrum durch starke zufällige Unordnung im chemischen Potenzial ermöglichen könnte. Dass es für die Kitaev-Kette nur möglich war, angeregte Zustände für Unordnungsstärken zu berechnen, die tief in der trivialen Phase liegen, kann als ein starkes Indiz dafür angesehen werden, dass sich topologische Ordnung und Vielteilchenlokalisierung hier gegenseitig ausschließen. Im Anschluss wurde eine Quantenspinkette untersucht, die dafür bekannt ist, Signaturen zu zeigen, die mit topologischer Ordnung in hoch-angeregten Zuständen in Verbindung stehen. Dies wird ermöglicht durch die Koexistenz von topologischer Ordnung mit Vielteilchenlokalisierung; eine essenzielle Eigenschaft dieses Systems. Die Stabilität dieser Koexistenz wurde dann gegen zusätzliche unordentliche Störungen getestet, indem sowohl Spektren als auch Verschränkungseigenschaften analysiert wurden, mit dem Ergebnis, dass das System immer lokalisiert ist, aber ein Übergang zwischen einer angeregten topologischen Phase und einer angeregten trivialen Phase existiert. Ein Nachteil dieses Systems ist die Existenz von Termen, die über drei Plätze reichen und damit schwer im Experiment zu realisieren sind. Um dieses Hindernis zu überwinden, wurde dann im nächsten Schritt versucht, Floquet-Engineering zweiter Ordnung zu verwenden, um dieses System zumindest effektiv zu realisieren. Die Idee hierbei war ein periodisch getriebenes System zu finden, welches nur über nächste-Nachbar Terme verfügt, aber die gleiche oder zumindest annähernd gleiche Zeitentwicklung wie das ursprüngliche System aufweist. Dieser Versuch war erfolgreich. Ein normalerweise bei dynamischen Systemen auftretendes Aufheizen wurde durch die anwesende Vielteilchenlokalisierung verhindert. Zudem wurde eine dynamische Kontrolle über in das System kodierte Quanteninformation demonstriert. Die Anwesenheit von topologischen Eigenschaften auch bei hohen Energien könnte auch in zwei Dimensionen weiterhelfen. Aus diesem Grund wurde am Beispiel des Heisenberg XXZ Modells auf einem quadratischen Gitter in der Anwesenheit starker Unordnung untersucht, ob Vielteilchenlokalisierung in zweidimensionalen Gittern überhaupt möglich ist. In der Vergangenheit wurde dies sowohl bezweifelt als auch bekräftigt. Durch das Analysieren der Entropie der bipartiten Verschränkung sowie lokaler Erwartungswerte wurde eine finite vielteilchenlokalisierte Phase entdeckt, in der das Flächengesetz für angeregte Zustände gilt. Zudem wurde eine kritische Unordnungsstärke abgeschätzt, ab welcher die vielteilchenlokalisierte Phase zerfällt.
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