Korteweg-de-Vries-Wellen in peridynamischen Medien

Peridynamik ist eine moderne nichtlokale Theorie auf dem Gebiet der Festkörpermechanik, bei der die partiellen Differentialgleichungen der klassischen Theorie durch Integro-Differentialgleichungen ersetzt werden. Die Wechselwirkungen zwischen den materiellen Punkten werden dabei durch nichtlineare Federkräfte beschrieben und daher kann das eindimensionale peridynamische Modell als natürliche Verallgemeinerung von Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou-Ketten betrachtet werden. In dieser Arbeit beweisen wir die Existenz von langwelligen und kleinamplituden Solitärwellen in eindimensionalen peridynamischen Medien, wobei das asymptotische Verhalten dieser Wellen durch die Korteweg-de-Vries-Gleichung bestimmt wird. Nach einer geeigneten Reskalierung ergibt sich eine nichtlineare Integralgleichung, die als singuläre Störung einer gewöhnlichen Differentialgleichung interpretiert werden kann. Im Beweis invertieren wir das linearisierte Problem in geeigneten Funktionenräumen und beweisen anschließend die Existenz von Lösungen mit dem Banachschen Fixpunktsatz. Da alle Operatoren Integrale über Banach-wertige Funktionen enthalten, müssen wir dabei die Theorie der Bochner-Integrale verwenden.