Spectral Inference for Functional Time Series in Hilbert Space
This thesis is about time series of functional data (functional time series), which are considered as discrete time stochastic processes with values in some Hilbert space. The main focus is on the investigation and estimation of second order properties of such processes, primarily within a frequency domain framework. To this end a suitable mathematical framework (chapter 2), that will provide a sufficient foundation for the further studies in this work, is preliminary laid out in the form of a collection of necessary fundamentals and results from probability theory in Hilbert spaces, including some technical and conceptual novelties. Afterwards functional time series are formally introduced as Hilbert space-valued stochastic processes (chapter 3) and some basic quantities for characterising process dynamics, like autocovariance operators, are defined. In addition several notions of weak dependency measures are presented, which allow to quantify the dependency within a functional time series. From this conceptual framework, basic elements of a frequency domain methodology for functional time series are elaborated (chapter 4), with the spectral density and periodogram operator (the infinite dimensional analogues of the respective multivariate quantities) at its centre. The first and second moment of the periodogram operator, considered as a random element in the space of Hilbert Schmidt operators, is computed and their respective limits including the rate of convergence is derived. In particular it is implied, that the periodogram operator is an asymptotically unbiased but not consistent estimator for the spectral density operator, generalising well known results of this type to arbitrary Hilbert spaces.
Nevertheless also for functional time series periodogram operators still constitutes the basis for frequency domain estimation procedures and appropriately smoothed versions yield estimators for the spectral density operator as well as for related quantities such as autocovariance- and spectral distribution operators. A broad class encompassing these special cases is given by so called spectral mean operators (chapter 5). Complementing recent advances in frequency domain methodology for functional time series a basic estimation theory for spectral mean operators is developed. Sufficient conditions for consistency of the considered spectral mean estimators, so called integrated periodogram operators, are given and, as one of the main results of this work, their asymptotic laws are established under different dependency assumptions. It turns out, that the limiting Gaussian distribution has in general a relatively complicated structure. In light of this a specific tailor made convolved subsampling scheme for integrated periodogram operators is proposed and it is shown that the approach consistently approximates the entire covariance structure of the limiting Gaussian law. One of the central limit theorems for integrated periodogram operators is based on the weak convergence of empirical autocovariance operators. This assumption is ultimately (chapter 6) demonstrated for a large class of functional time series. The established limit theorem for empirical autocovariance operators is novel in its form and more general then previous findings of this kind.
All results in this work do not depend on any specific structural modelling assumptions on the underlying functional time series, but only on weak dependency notions, either in form of functional versions of classical cumulant mixing conditions or in form of Lp-m-approximability, where the latter is generally less restrictive.
Untersuchungsgegenstand dieser Dissertation sind Zeitreihen funktionaler Daten (funktionale Zeitreihen), die als diskrete stochastische Prozesse mit Werten in einem Hilbertraum aufgefasst werden. Das Hauptaugenmerk liegt hierbei auf einer, im wesentlichen innerhalb des Spekralbereichs durchgeführten Untersuchung und Schätzung von Prozesseigenschaften zweiter Ordnung. Hierzu wird vorbereitend zunächst ein geeigneter mathematischer Rahmen (Kapitel 2) in Form einer Zusammenstellung notwendiger Grundlagen und Resultate aus der Wahrscheinlichkeitstheorie in Hilberträumen, darunter einige technische und begriffliche Neuheiten, dargelegt, auf dem dann die weitergehenden Betrachtungen fußen. Anschließend werden funktionale Zeitreihen formal als hilbertraumwertige stochastische Prozesse eingeführt (Kapitel 3) und einige elementare Größen wie Autokovariazoperatoren definiert, die zur Beschreibung der Prozessdynamik dienen. Zudem werden verschiedene Abhängigkeitsmaße vorgestellt mit denen sich die Bedingtheit innerhalb einer funktionalen Zeitreihe quantifizieren lässt. Aus diesem Rahmen heraus werden dann die Grundzüge einer spektralbereichbasierten Methodik, deren Kern Spektraldichte- und Periodogrammoperatoren (die unendlichdimensionalen Analoga der jeweiligen multivariaten Größen) bilden, zur Untersuchung funktionaler Zeitreihen ausgearbeitet (Kapitel 4). Das erste und zweite Moment des Periodogramm-operators, aufgefasst als Zufallselement im Raum der Hilbert Schmidt Operatoren, wird berechnet und der jeweilige Grenzwert einschließlich der Konvergenzrate bestimmt. Insbesondere ergibt sich, dass der Periodogrammoperator ein asymptotisch erwartungstreuer aber nicht konsistenter Schätzer für den Spektraldichteoperator ist, was wohlbekannte Resultate dieser Art auf allgemeine Hilberträume erweitert. Dennoch bilden auch für funktionale Zeitreihen die Periodogrammoperatoren den Ausgangspunkt spektralbereichbasierter Schätzverfahren und durch geeignete Glättung lassen sich neben dem Spektraldichteoperator auch eine Vielzahl anderer verwandter Größen wie Autokovarianz- und Spektralverteilungsoperatoren schätzen. Eine diese Spezialfälle umfassende Klasse ist durch die sogenannten Spektralmittelwertoperatoren (Kapitel 5) gegeben. Die bisherigen Fortschritte im Gebiet spektralbereichbasierter Statistik für funktionale Zeitreihen ergänzend, werden dann Grundlagen zur Schätzung von Spektralmittelwertoperatoren entwickelt. Es werden hinreichende Bedingungen für die Konsistenz der betrachteten Schätzer für Spektralmittelwerte, den sogenannten integrierten Periodogrammoperatoren, gegeben sowie, als eines der Hauptresultate dieser Arbeit, deren asymptotische Verteilung unter verschiedenen Abhängigkeitsannahmen bestimmt. Dabei zeigt sich, dass die gauß'sche Grenzverteilung im Allgemeinen eine relativ komplizierte Struktur aufweist. Angesichts dessen, wird zudem ein spezifisch auf integrierte Periodogrammoperatoren zugeschnittenes convolved subsampling Verfahren vorgestellt und gezeigt, dass dieser Ansatz insbesondere die gesamte Kovarianzstruktur der gauß'schen Grenzverteilung konsistent approximiert. Einer der zentralen Grenzwertsätze für integrierte Periodogrammoperatoren beruht auf der schwachen Konvergenz empirischer Autokovarianzoperatoren. Diese Annahme wird schließlich (Kapitel 6) für eine große Klasse funktionaler Zeitreihen verifiziert. Der präsentierte Grenzwertsatz für empirische Autokovarianzoperatoren ist in seiner Form ebenfalls neuartig und allgemeiner als bisherige Resultate diese Art. Alle Ergebnisse dieser Arbeit beruhen nur auf schwachen Abhängigkeitsforderungen an die zugrundeliegende funktionale Zeitreihe, entweder in Form funktionaler Kumulantenmischbedingungen oder in Form von Lp-m-Approximierbarkeit, wobei letztgenanntes generell weniger restriktiv ist.
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