Enumeration of class 2 associative algebras over finite fields

Das Ziel dieser Arbeit ist das Zählen der Isomorphietypen von nilpotenten assoziativen Algebren der Klasse 2, welche endliche Dimension und endlichen Rang haben und über endlichen Körpern definiert sind. Dabei ist die Dimension einer Algebra die Dimension aufgefasst als Vektorraum; Der Rang ist die minimale Anzahl an Erzeugern als Algebra. Wir betrachten die Anzahl an Isomorphietypen als eine Funktion in der Anzahl der Körperelemente und betrachten die Dimension und den Rang als Parameter. Wir zeigen, dass für fest gewählten Rang und fest gewählte Dimension die Funktion PORC ist. PORC ist ein Akronym und steht für Polynomial On Residue Classes, was sich mit Polynom auf Restklassen übersetzen lässt. Die Bezeichnung PORC Funktion wurde von Graham Higman eingeführt und verallgemeinert den Begriff der Polynomfunktion. Des Weiteren beschreiben wir einen Algorithmus, der für gegebenen Rang und gegebene Dimension die PORC Funktion als Funktion in der Anzahl der Körperelemente berechnet. Dazu übersetzen wir das Problem des Zählens von Isomorphietypen in ein Bahn-Stabilisator-Problem, sodass das Zähllemma von Burnside, Cauchy und Frobenius angewendet werden kann. Wir sehen, dass in unserem Fall die allgemeine lineare Gruppe des endlichen Körpers auf einer geeigneten Menge operiert. Der Rang der allgemeinen linearen Gruppe ist durch den Rang der Algebren gegeben. Ein wichtiger Schritt ist eine Formulierung das Zähllemmas, welche unabhängig vom zu Grunde liegenden Körper ist. Für diesen Zweck nutzen wir die sogenannten Typen von Matrizen. Schließlich nutzen wir den Algorithmus, um die PORC Funktionen für kleine Ränge, aber alle davon abhängigen Dimensionen zu berechnen. Wir formulieren außerdem eine Vermutung an die Grade der auftretenden Funktionen.