Zum Isomorphieproblem der torsionsfreien, endlich erzeugten, nilpotenten Gruppen

Gruppen kann man durch Präsentationen darstellen. Die Frage, ob zwei Präsentationen isomorphe Gruppen beschreiben oder nicht, wird das Isomorphieproblem genannt (Dehn). Für endlich erzeugte, torsionsfreie, nilpotente Gruppen, sog. T-Gruppen, ist das Isomorphieproblem entscheidbar (Grunewald und Segal). Allerdings ist es schwierig, diesen Algorithmus in die Praxis umzusetzen. Einen praktikablen Algorithmus zur Lösung des Isomorphieproblems für gewisse T-Gruppen der Nilpotenzklasse 2, darunter diejenigen der Hirschlänge höchstens 5, liefert eine Arbeit von Grunewald und Scharlau. Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung einer allgemeinen, praktikablen Methode für die restlichen T-Gruppen der Hirschlänge höchstens 5. Dabei erhält man für jede dieser Gruppen eine kanonische Form, d.h. eine Präsentation, die für den Isomorphietyp eindeutig ist. Dabei werden diese T-Gruppen bis auf Isomorphie klassifiziert. Wir definieren eine Invariante für T-Gruppen, die uns deren Untersuchung erleichtert. Dieser Typ einer T-Gruppe gibt Aufschluss über ihre innere Struktur und wird durch die Ränge der Faktoren der Isolatorreihe beschrieben. Wir betrachten eine Präsentation, die durch einen ganzzahligen Vektor t der Länge n über 3 beschrieben wird. Die dadurch definierte Gruppe bezeichnen wir mit G(t). Wir zeigen: Zu jeder T-Gruppe G der Hirschlänge n gibt es einen solchen Vektor t für den G isomorph zu der durch t definierten Gruppe G(t) ist. Sei G eine T-Gruppe der Hirschlänge n höchstens 5 und der Nilpotenzklasse mindestens 3. Sei T(G) die Menge aller Vektoren der Länge n über 3 für die G isomorph zu G(t) ist. T(G) beschreibt den Isomorphietyp von G vollständig. Wir definieren einen eindeutigen kanonischen Vektor in T(G), der diesen Isomorphietyp repräsentiert. Insbesondere wird ein (implementierbarer) Algorithmus beschrieben, um zu einem beliebigen Vektor t den kanonischen Vektor Cf(t) zu berechnen. Mit den Ergebnissen von Grunewald und Scharlau, erhält man: Zwei T-Gruppen G und H der Hirschlänge höchstens 5 sind genau dann isomorph, wenn sie den selben Typ haben und ihre kanonische Form übereinstimmt. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit ist die Beschreibung der Automorphismengruppe einer T-Gruppe der Hirschlänge höchstens 5. Wir betrachten auch noch die T-Gruppen des Typs (n,1,1),n>3. Für diese haben wir zwar keine kanonische Form, aber ein Verfahren entwickelt, das zu einer gegebenen Präsentation eine weitere mit gleichen oder betragsmäßig kleineren Exponenten berechnet.