Generalisations of the Wielandt subgroup
The Wielandt subgroup and the Norm of a group are group theoretic concepts which have been introduced as generalisations of the center of a group. The first aim of this Thesis is to generalise Wielandt's idea further. For this we first investigate the structural properties of the existing generalisation introduced in my MPhil Thesis. Given a group G this generalisation is a subgroup defined relative to a normal subgroup in G. We investigate the structural behaviour of the generalised Wielandt subgroup and its generalised Wielandt length. We also correct a mistake in my MPhil Thesis. We introduce a new generalisation of the Wielandt subgroup which we call the "relative Wielandt subgroup". It is noted that the relative Wielandt subgroup satisfies some properties which do not hold in case of the ordinary Wielandt subgroup and an example is given which shows that the relative Wielandt subgroup is non-trivial in a wider class of groups than the Wielandt subgroup. Further, we developed algorithms to compute the Norm of a finite or a polycyclic group. We also introduced methods to determine the ordinary, generalised or relative Wielandt subgroup of a finite group. By using these algorithms and the available classification of groups of order dividing p^6, we classify the groups of order dividing p^4 (up to isomorphism) with maximal Wielandt subgroup for all primes and those of order dividing p^6 for a variety of primes.
Die Wielandt-Untergruppe und die Norm einer Gruppe sind gruppentheoretische Konzepte, die als Verallgemeinerungen des Zentrums einer Gruppe eingeführt wurden. Das erste Ziel dieser Arbeit ist es die Ideen von Wielandt weiter zu verallgemeinern. Zu diesem Zweck untersuchen wir die strukturellen Eigenschaften der bereits in meiner MPhil-Arbeit eingeführten Verallgemeinerung. Zu einer gegebenen Gruppe G wird diese Verallgemeinerung relativ zu einem Normalteiler in G definiert. Wir untersuchen die strukturellen Eigenschaften dieser verallgemeinerten Wielandt-Untergruppe und die Länge der verallgemeinerten Wielandt-Reihe. Außerdem verbessern wir einen Fehler in der MPhil-Arbeit. Wir führen eine neue Verallgemeinerung der Wielandt-Untergruppe ein, die wir "relative Wielandt-Untergruppe" nennen. Wir bemerken, dass diese relative Wielandt-Untergruppe einige Eigenschaften hat, die für die gewöhnliche Wielandt-Untergruppe nicht gelten. Zusätzlich geben wir ein Beispiel, welches zeigt, dass die relative Wielandt-Untergruppe in einer größeren Klasse von Gruppen nichttrivial ist als w(G). Weiterhin haben wir Algorithmen entwickelt, um die Norm einer endlichen oder polyzyklischen Gruppe G zu berechnen. Wir haben außerdem Methoden entwickelt, um die gewöhnliche, die verallgemeinerte und die relative Wielandt-Untergruppe für eine endliche Gruppe G zu bestimmen. Unter Verwendung dieser Algorithmen und der Klassifikation der Gruppen, deren Ordnung p^6 teilt, klassifizieren wir (bis auf Isomorphie) für alle Primzahlen, die Gruppen mit maximaler Wielandt-Untergruppe, deren Ordnung p^4 teilt. Für die Gruppen, deren Ordnung p^6 teilt, klassifizieren wir diese Gruppen für einige Primzahlen.
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