Geometrische Charakterisierung von Veronesemannigfaltigkeiten

Die Veroneseabbildung bildet einen projektiven Raum über einer Cayley-Dickson-Algebra in einen n-dimensionalen projektiven Raum über dem Grundkörper ab. Das Bild nennen wir eine Veronesemannigfaltigkeit. Bei dem vorgenannten Prozess werden Geraden auf Ovoide abgebildet. Die Aufspanne dieser Ovoide, die elliptischen Räume, sind k-Räume. Die Veronesemannigfaltigkeit bildet mit der Menge der elliptischen Räme eine geometrische Struktur, ein (n,k)-Cap, eine Verallgemeinerung des Begriffs hermitian Cap, den H. Van Maldeghem und J. Thas 2004 einführten. Wir betrachten nun beliebige (n,k)-Caps. Jedes (n,k)-Cap ist bereits ein projektiver Raum, dessen Dimension wir Index nennen. H. Van Maldeghem und J. Schillewaert haben 2012 gezeigt, dass für k=2 und k=3 alle (n,k)-Caps Veronesemannigfaltigkeiten sind. Wir Verallgemeinern dieses Ergebnis. Für k=9 zeigen wir, dass nicht-desarguesche (n,k)-Caps Veronesemannigfaltigkeiten sind. Wir zeigen ebenfalls, dass falls der Grundkörper nur zwei Quadratklassen hat, alle (n,k)-Caps vom Index 2 mit k=5 oder 9 Veronesemannigfaltigkeiten sind. (n,k)-Caps mit größerem Index sind Veronesemannigfaltigkeiten, wenn alle ihre Untercaps vom Index 2 Veronesemannigfaltigkeiten sind.