On the character degrees and automorphism groups of finite p-groups by coclass

Couson, Martin

doi:10.24355/dbbs.084-201311140930-0

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On the character degrees and automorphism groups of finite p-groups by coclass

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German

In 1980 Leedham-Green & Newman initialized the coclass theory, which has provided significant new insights into finite p-groups. For a finite p-group G of order p up to the power n and nilpotency class c the coclass of G is defined as n-c. The classification of finite p-groups by their coclass is a challenging and fascinating open problem. A very important step has been made by Eick & Leedham-Green in 2007. They introduced coclass families that are infinite families of finite p-groups of a fixed coclass with many interesting properties. They can be used to classify the 2-groups of fixed coclass and the 3-groups of coclass 1. By giving a counterexample we show that there is a mistake in their paper. We fill this gap here and thus complete their work. By definition all groups of a coclass family can be described by a single parametrized presentation. We extend this to the automorphism groups and the numbers of irreducible characters of the groups of a coclass family. We show in particular that for each coclass family there exists a 2-cocyle and a pro-p-group yielding naturally group presentations of almost all corresponding automorphism groups, and there exists a single polynomial describing the number of irreducible characters of almost all groups in the coclass family.

Leedham-Green und Newman stellten 1980 die sogenannten Koklassenvermutungen auf, welche den Ausgangspunkt der Koklassentheorie bildeten. Mit Hilfe der Koklassentheorie konnten viele neue Einsichten in endliche p-Gruppen gewonnen werden. Die Koklasse einer endlichen p-Gruppe G der Ordnung p hoch n und der nilpotenten Länge c ist definiert als n-c. Die Klassifikation endlicher p-Gruppen anhand ihrer Koklasse ist ein forderndes und zugleich faszinierendes offenes Problem. Einen wichtigen Schritt in Richtung einer möglichen Klassifikation stellt die Veröffentlichung von Eick & Leedham-Green dar. Sie führten Koklassenfamilien ein, welche unendliche Familien endlicher p-Gruppen gleicher Koklasse sind. Mithilfe von Koklassenfamilien kann man die endlichen 3-Gruppen der Koklasse 1 und die 2-Gruppen fester Koklasse r klassifizieren. Die Publikation von Eick & Leedham-Green enthält eine fehlerhafte Aussage. Wir zeigen dies, indem wir ein Gegenbeispiel angeben. Ferner beheben wir den Fehler und vervollständigen somit ihre Arbeit. Per definitionem können alle Gruppen einer Koklassenfamilie mit einer einzigen parametrisierten Gruppenpräsentation angegeben werden. In der vorliegenden Arbeit zeigen wir, dass analoge Aussagen für die Automorphismengruppen und die Anzahl der irreduziblen Charaktere der Gruppen einer Koklassenfamilie gelten. Insbesondere zeigen wir, dass für jede Koklassenfamilie ein 2-Kozykel und eine unendliche pro-p-Gruppe existieren, aus denen sich leicht Gruppenpräsentationen der Automorphismengruppen ableiten lassen. Desweiteren gibt es für jede Koklassenfamilie ein Polynom, welche für fast alle Gruppen der Familie die Anzahl der irreduziblen Charaktere beschreibt.