Filterabbildungen : Herrn Professor Dr. Hans Robert Müller zum achtzigsten Geburtstag

Ultrafilter spielen zum Beispiel in der Analysis und in der Topologie, in der Algebra und in der Modelltheorie eine wichtige Rolle und stellen ein wirkungsvolles Konstruktionsmittel dar. Abgesehen von Trivialfällen, entzieht sich jedoch die Struktur von Ultrafiltern einer einfachen Beschreibung. Zwar kann man mit gegebenen Ultrafiltern neue Ultrafilter erzeugen, deren Aufbau komplizierter zu sein scheint; aber ein befriedigender Strukturvergleich bereitet erhebliche Schwierigkeiten. Ein naheliegendes Hilfsmittel hierzu sind Abbildungen, die Filter auf Filter abbilden und die mit den Operationen des Filterverbands in geeigneter Weise gekoppelt sind. Der Untersuchung derartiger Filterabbildungen dienen die folgenden Betrachtungen, die sich stets auf eine feste unendliche Grundmenge X beziehen. Ein erster Abschnitt dient der Zusammenstellung von Begriffen und Bezeichnungen. Die Filter von X bilden hinsichtlich der mengentheoretischen Inklusion einen vollständigen, distributiven Verband. Hier wird jedoch die duale Ordnung bevorzugt, weil bei ihr den Operationen des Filterverbands direkt die entsprechenden mengentheoretischen Operationen bei den Filtermengen entsprechen. Im zweiten Abschnitt werden die von Abbildungen X -> X induzierten Filterabbildungen betrachtet. Sie werden zur Definition von "einfachen" Ultrafiltern benutzt, die auf eine weitere Art gekennzeichnet werden und über die ein Existenzsatz bewiesen wird. Der dritte Abschnitt befaßt sich mit Booleschen Homomorphismen, nämlich mit Abbildungen des Potenzmengenverbandes von X in sich, die mit der Vereinigungs-, Durchschnitts- und Komplementbildung vertauschbar sind. Auch sie induzieren Filterabbildungen, deren Eigenschaften näher untersucht werden. Insbesondere ergibt sich ein Überblick über alle möglichen Booleschen Homomorphismen, und es wird ein von Punktabbildungen her bekannter Satz auf Boolesche Homomorphismen erweitert. Im letzten Abschnitt werden schließlich Filter der Menge aller Abbildungen X -> X herangezogen, die ihrerseits Filterabbildungen im Filterverband von X induzieren. Die Klasse dieser Filterabbildungen, für die ebenfalls Existenz- und Kennzeichnungssätze bewiesen werden, erweist sich als außerordentlich reichhaltig.