Zum Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra ist zu einem wesentlichen Teil ein Satz der komplexen Analysis, der im allgemeinen auch mit funktionentheoretischen Mitteln bewiesen wird. Für seine reelle Fassung Jedes irreduzible Polynom aus R[t] besitzt höchstens den Grad Zwei. ist jedoch ein rein im Reellen verlaufender und möglichst elementarer Beweis wünschenswert. Ein diesen Forderungen entgegenkommender Beweis wird im dritten Abschnitt dieser Arbeit angegeben. Außer auf einfachste Grundlagen der reellen Analysis, die auf nur einen Teilbeweis konzentriert sind, stützt er sich auf einige einfache Sätze über spezielle lineare Abbildungen. Diese werden in den beiden ersten Abschnitten allgemein für Vektorräume über beliebigen kommutativen Skalarenkörpern bewiesen. Der Beweis des Fundamentalsatzes erfolgt dann im dritten Abschnitt für den reellen Fall. Er läßt sich jedoch mit wenigen naheliegenden Modifikationen direkt auf den komplexen Fall übertragen. In den beiden ersten Abschnitten bedeutet X immer einen Vektorraum über einem kommutativen Skalarenkörper K mit Dim X = n >= 1. Ferner ist [Phi]: X -> X stets eine lineare Abbildung. Unter dem charakteristischen Polynom von [Phi] wird das normierte Polynom f[Phi](t) = Det (t x id-[Phi]) verstanden, und Entsprechendes soll auch für das Minimalpolynom gelten.