Quaternionen über Polynomringen, quadratischen Formen über R[x,y] und Vektorbündel über P^2(C)

Es sei A = K[X1,..., Xn] ein Polynomring in mindestens 2 Variablen über einem Körper K. Nach einem tiefliegenden Satz von Quillen und Suslin sind endlich erzeugte projektive A-Moduln immer frei. Ersetzt man K durch einen Schiefkörper D, so gilt der Satz nicht mehr. Für jeden nicht kommutativen Schiefkörper D gibt es projektive D[X1,...,Xn]-Moduln, welche nicht frei sind. Diese Moduln sind alle Ideale, d.h. sie haben Rang eins. Es gelang Stafford 1980 zu zeigen, daß projektive Moduln vom Rang größer als eins über D[X1,...,Xn] frei sind. In diesem Übersichtsvortrag werden Beispiele von nicht freien projektiven Idealen in H[x,y] konstruiert, wobei H die reellen Quaternionen bezeichnet. Dann zeigen wir, daß die projektiven Ideale von H[x,y] eng mit positiv-definiten quadratischen Formen über R[x,y] zusammenhängen. Im letzten Teil wird eine Klassifikation eines Teiles dieser Ideale gegeben. Dabei werden Resultate von Barth über stabile Vektorbündel über P^2(C) benützt.