Die metrische Theorie der Kettenbrüche seit Gauß

Die regelmäßigen Kettenbrüche gehören zum klassischen Bestand der Zahlentheorie und damit der Mathematik. Sie waren schon in der Antike bekannt wie etwa im Zusammenhang mit dem euklidischen Algorithmus. Ihre zusammenhängende Theorie wurde in neuerer Zeit vor allem durch Huygens, Leibniz, Euler und Lagrange begründet. Es ist nicht unsere Absicht, diese Entwicklung darzustellen; wir verweisen dafür auf [12]. Vielmehr wollen wir uns hier mit einem Aspekt der Theorie der Kettenbrüche befassen, der von Gauß seinen Ausgang nahm und den man heute "Metrische Theorie der Kettenbrüche" nennt. Teil 1 behandelt die metrische Theorie der Kettenbrüche irrationaler Zahlen. In §1 befassen wir uns so mit dem Kernstück der metrischen Theorie der regelmäßigen Kettenbrüche, nämlich dem Satz von Gauß-Kusmin-Lévy. In §2 wird im Zusammenhang mit dem Gauß-Maß [gamma] dann allgemeiner "Mischung" bei regelmäßigen Kettenbrüchen erörtert und damit auch "Ergodizität". In §3 werden dann einige Anwendungen des Ergodensatzes auf regelmäßige Kettenbrüche gegeben. Es schließt sich an die Verallgemeinerung der vorhergehenden Ergebnisse auf die wohl interessantesten halbregelmäßigen Kettenbrüche, nämlich die nach nächsten Ganzen in §4 und die singulären Kettenbrüche in §5. Teil 2 behandelt die metrische Theorie der Kettenbrüche rationaler Zahlen. In §6 befassen wir uns so im Anschluß an Heilbronn mit der durchschnittlichen Länge des regelmäßigen Kettenbruchs einer rationalen Zahl. Es schließt sich an die Verallgemeinerung dieser Ergebnisse auf die Kettenbrüche nach nächsten Ganzen in §7.