Mechanik des Gummi-gebetteten Stahlreifens

Eines der klassischen Probleme der Elastomechanik ist das Setzungsverhalten eines verformbaren Tragwerks auf einer nachgiebigen Gründung. Es ist ein Dauerproblem für Bauingenieure, denn man kann zwar das Verhalten der elastomechanischen Konstruktion unter Eigenlast und Verkehrslast vorhersagen, hat aber Schwierigkeiten, dies einigermaßen verläßlich für die Bettung zu tun. Denn diese zeigt nur angenähert linear elastisches Verhalten, sie kann sich bleibend verformen, und, was schlimmer ist, sie kann fließen. Dieses Kontaktproblem hat einen eigenen Zweig der Mechanik hervorgebracht, die Bodenmechanik. Diese braucht viele empirische Daten, hat aber mit den heutigen numerischen Möglichkeiten (BEM, FEM) eine analytische Renaissance erlebt, die auch das Zeitverhalten einschließt. Eine der ersten Arbeiten zur nachgiebigen Bettung betrifft das Gleichgewicht schwimmender Platten von Heinrich Hertz, der in der Einleitung zu seinem Beitrag fast entschuldigend vermerkt, der Herr von Helmholtz habe ihm diese Publikation nahegelegt. Da der Wasserdruck linear mit der Wassertiefe zunimmt und so die Platte stützt hat man ein lineares Problem, bei dem die gesuchte Durchsenkung über die Bettung selbst von der Durchsenkung abhängt. Der Autor dieses Beitrages hat in den 60er Jahren eine Näherungslösung für ein Kraftfahrzeug auf einer Eisplatte vorgestellt. Bei dieser wie auch bei der Hertzschen Lösung hat der unendlich ferne Plattenrand keinen Einfluß auf die Lösung. Ähnlich verhält es sich mit der vielzitierten Lösung von E. Winkler, der vor Hertz einen unendlich langen Plattenstreifen/Balken unter Einzellast untersucht hat, der auf einer linear nachgiebigen Bettung ruht. Nach ihm wird eine solche Bettung häufig Winkler-Bettung genannt. Winklers Lösung ist zwar modellmäßig – also die Anwendbarkeit betreffend – eingeengt, hat aber den großen Vorteil, als geschlossene Lösung einer DGl. 4. Ordnung sehr durchsichtig im Hinblick auf die Systemparameter zu sein. Sie baut sozusagen von unten her auf, indem die verschiebungsabhängige Stützkraft nach vierfacher Integration auf die gesuchte Verschiebung führt. Wenn man die Lösung hat, können entsprechend durch Differentiation Balkenneigung, Balkenkrümmung (entspricht dem Biegemoment), Querkraft und – ansatzgemäß – Streckenlast (Bettungskraft) ermittelt werden. Dem Experiment ist der letztgenannte Weg praktisch verschlossen, weil gemessene Verschiebungen nach mehrfacher Differentiation keine Aussagekraft mehr haben: Differentiation "rauht auf". Nun ist das Bettungsproblem im Maschinen- und Fahrzeugbau wieder aktuell geworden durch den Einsatz Gummi-gebetteter Radreifen. Die Gummielemente zwischen Radscheibe und Radreifen dienen in erster Linie dazu, das Rad akustisch vom Fahrzeuginnern zu entkoppeln. Da die Reifenhöhe klein gegenüber dem Reifenradius ist – der Balken ist schwach gekrümmt – kann man die Winkler-Lösung zur Analyse heranziehen. Der Einfluß des geschlossenen Ringes auf die Statik des Systems geht dabei verloren. Dieser Beitrag zeigt, wie sich der Einfluß auswirkt. Es werden erst die Winkler-Lösung als Referenzlösung und dann die Ringlösung vorgestellt.