Der Spindrehimpuls in der allgemeinen Relativitätstheorie

In seiner allgemeinen Relativitätstheorie hat Einstein den Energie-Impuls der Materie geometrisiert. Spinnende Materie besitzt aber neben den Translations- zusätzlich noch Rotationsfreiheitsgrade, die im Spindrehimpuls ihren Ausdruck finden; für dessen Beschreibung ist jedoch in der allgemeinen Relativitätstheorie keine geometrische Größe verfügbar. In diesem Artikel wird daher im Anschluß an Arbeiten von Sciama, Kibble, Kröner und dem Verfasser die dem Spindrehimpuls zugeordnete Raumgröße aufgesucht und eine allgemein-relativistische Feldtheorie für Energie-Impuls und Spindrehimpuls angegeben. Im ersten Kapitel erläutern wir zuerst die unserer Arbeit zugrunde liegende Konzeption (§1). Wesentlich ist dabei, daß materieller Spindrehimpuls dem antisymmetrischen Teil der affinen Konnexion, der sog. Cartanschen Torsion äquivalent ist. §2 gibt eine Literaturübersicht, und in §3 führen wir etwas näher eine zwischen der Feldtheorie der Versetzungen und der allgemeinen Relativitätstheorie bestehende Analogie aus, die den Ausgangspunkt unserer Überlegungen bildete. In §4 werden eine Reihe mathematischer Formeln aufgestellt, die wir später benötigen werden. Das zweite Kapitel dient der eigentlichen Ausarbeitung der Theorie. In §5 wird als physikalischer Erfahrungsraum der allgemeinste metrische und affine Raum eingeführt. Gegenüber dem Riemannschen Raume der allgemeinen Relativitätstheorie besitzt er als zusätzliche Struktur die Cartansche Torsion. Betten wir die Wirkungsfunktion der Materie in diesen Raum ein (§6), so folgen aus ihrer Invarianz gegenüber beliebigen Koordinatentransformationen gewisse Identitäten. Wir definieren in §7 den Energie-Impuls und den Spindrehimpuls der Materie dynamisch und können dann in §8 die erwähnten Identitäten auswerten: die dynamisch definierten Energie-Impuls- bzw. Spindrehimpuls-Tensoren sind mit den entsprechenden kanonischen Tensoren, die aus dem Lagrange-Formalismus folgen, identisch. Zudem erhalten wir die explizite Form der Erhaltungssätze für Energie-Impuls und Drehimpuls. Diese Ergebnisse gelten bei beliebiger Form der Feldgleichungen der Gravitation. Letztere stellen wir erst in §9 mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzipes auf. Die Wahl einer bestimmten Wirkungsfunktion des Feldes führt zu den Feldgleichungen Einstein-Tensor = kanon. Energie-Impuls, (modifizierte) Cartansche Torsion = kanon. Spindrehimpuls. In §10 diskutieren wir die dargelegte Theorie und schneiden einige noch offene Probleme an.