Topologische Fragen in der Theorie der Spannungsfuktionen

Zur Lösung elastischer Randwertprobleme kann man sich der Verschiebungsfunktionen oder der Spannungsfunktionen bedienen. Im ersten Fall wird durch Ableitung des Dehnungsfeldes aus einer Verschiebung die Erfüllung der Kompatibilitätsbedingung von vornherein gesichert und die Verschiebungsfunktion nachträglich der Gleichgewichtsbedingung angepaßt; im zweiten Fall gewährleistet die Ableitung des Spannungsfeldes aus Spannungsfunktionen von vornherein die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingung, während die Kompatibilitätsbedingung durch nachträgliche Anpassung befriedigt werden muß. Die topologischen Eigenschaften der Verschiebungsfunktionen sind nach geometrischen Gesichtspunkten schon mehrfach gründlich untersucht worden, besonders im Zusammenhang mit der Theorie der Versetzungen; die vorliegende Arbeit enthält eine entsprechende Untersuchung nach statischen Gesichtspunkten für die Spannungsfunktionen. Es ergibt sich, daß für die Darstellbarkeit des elastischen Feldes durch Spannungsfunktionen in einem von äußeren Kräften und Eigenspannungsquellen freien (kurz: "störungsfreien") räumlichen Bereich die Zahl der begrenzenden Oherflächen dieselbe Rolle spielt wie bei der Darstellung durch Verschiebungsfunktionen die Zusammenhangszahl. Insbesondere ist eme Darstellung durch Spannungsfunktionen beim mehrfach begrenzten Bereich unmöglich, wenn die äußeren Kräfte nicht an jeder Oberfläche für sich im Gleichgewicht sind, also z.B. auch für die als Grenzfall eines Kräftesystems am unendlich kleinen Hohlraum aufzufassende isolierte Einzelkraft. Die für diesen Fall in der Ebene und im Raum angegebenen Spannungsfunktionen erweisen sich als Spannungsfunktionen eines Eigenspannungszustandes, dessen singuläre Eigenspannungsquellen bei der Ableitung des Spannungsfeldes ausgespart werden; die bewußte Einführung solcher "fiktiver Extraspannungen" ermöglicht die Konstruktion weiterer derartiger Lösungen. Bei mehrfach zusammenhängenden Bereichen wird eine vom ebenen Ringgebiet bekannte Beziehung zwischen den Randbedingungen für die Nullspannungsfunktionen und den Bedingungen für das Verschwinden eines Volterraschen Distorsionszustandes ins Räumliche erweitert. Als Beispiele werden Spannungsfunktionen für die Einzelkraft und eine Doppelkraft mit Moment im "angebohrten" Vollraum aufgestellt und die Schaeferschen Spannungsfunktionen für die Probleme von Boussinesq und Cerutti am Halbraum auf anderem Wege abgeleitet.