Periodic Hartree-Fock Theory

Amayri, Mohammed

doi:10.24355/dbbs.084-201207110932-0

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Periodic Hartree-Fock Theory

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The Hartree-Fock (HF) approximation is the most commonly used approximation method for many-fermion systems. We study the periodic HF model, which is used in the description of electrons in a crystal, in the space of square integrable functions on a given torus. In particular, the following issues are addressed: the restrictions under which the periodic HF minimizer is unique and the periodic HF energy is equal to the unrestricted HF energy; The generalization of Lieb's variational principle; The improvement of the gap estimate between the N + 1-st and N-th eigenvalues of the effective HF Hamiltonian using a fiber dependent lower bound on the difference; and in the discrete, one-dimensional case it is shown that a gap opens in the spectrum of the fibered HF effective Hamiltonian, i.e., the distance between its consecutive eigenvalues increases in the presence of a weak positive one-dimensional periodic potential.

Die Hartree-Fock-Approximation (HF) ist die am häufigsten verwendete Approximationsmethode für Viel-Fermionen-Systeme. Wir untersuchen periodische HF-Modelle, die die Elektronen in einem Kristall beschreiben, unter Berücksichtigung des Raums der quadratintegrierbaren Funktionen auf einem gegebenen Torus. Insbesondere werden die folgenden Themen angesprochen: Zunächst behandeln wir die Einschränkungen, unter denen der periodische HF-Minimierer eindeutig ist und die periodische HFEnergie gleich der uneingeschränkten HF-Energie ist. Zudem stellen wir eine Verallgemeinerung des Liebschen Variationsprinzips vor. Anschlieÿend verbessern wir die Abschätzung der Lücke zwischen dem (N +1)-ten und dem N-ten Eigenwert des effektiven HF-Hamiltonoperators durch eine faserabhängige untere Schranke auf ihrem Differenz. Im diskreten, eindimensionalen Fall wird gezeigt, dass sich eine Lücke im Spektrum einer Faser des effektiven HF-Hamiltonoperators öffnet, d.h., der Abstand zwischen den aufeinanderfolgende Eigenwerte sich erhöht, falls es ein schwaches positives eindimensionales periodisches Potential gibt.