Discrete Time Quantum Lattice Systems

Quanten-Gittersysteme haben in den letzten Jahren zunehmend an Bedeutung im Bereich des Quantenrechnens gewonnen, weil sie ein vielseitiges Instrument für unterschiedliche Anwendungen darstellen und in derzeitigen experimentellen Realisierungen potentiell implementierbar sind. Wir untersuchen in dieser Arbeit sowohl grundlegende Strukturen solcher Quanten-Gittersysteme als auch experimentelle Imperfektionen. Im wesentlichen gibt es zwei Modelle von Quanten-Gittersystemen in diskreter Zeit: Quanten-Zellularautomaten und Quanten Walks. In beiden Fällen ist die Dynamik lokal und translationsinvariant. Der Hauptunterschied besteht darin, dass Quanten-Zellularautomaten viele miteinander wechselwirkende Teilchen beschreiben können, wohingegen Quanten Walks die Zeitentwicklung eines einzelnes Teilchen darstellen. Zu beiden Modellen gibt es entsprechende klassischen Strukturen, nämlich Zellularautomaten, bzw. Random Walks. Im ersten Teil dieser Arbeit werden Quanten-Zellularautomaten behandelt. Wir charakterisieren eindimensionale Automaten mithilfe einer Index Theorie bis auf lokale Deformation. Außerdem untersuchen wir im Detail die Struktur einer Unterklasse von Quanten-Zellularautomaten, die dadurch festgelegt ist, dass Pauli Operatoren auf Pauli Operatoren abgebildet werden. Wir zeigen, dass sich solche Automaten durch spezielle klassische Zellularautomaten verstehen lassen. Im zweiten Teil dieser Arbeit behandeln wir Quanten Walks, welche wir mit Ein-Teilchen-Sektoren von Quanten-Zellularautomaten identifizieren. Wir führen ebenso eine Index Theorie für Quanten Walks ein und wir diskutieren dekohärente Quanten Walks, d.h., das Verhalten von Quanten Walks mit experimentellen Imperfektionen.