A Space-Time Meshfree Collocation Method for Coupled Problems on Irregularly-Shaped Domains

In der vorliegenden Arbeit wird eine neuartige gitterfreie Raum-Zeit-Kollokationsmethode (engl. STMCM) zur Lösung von Systemen partieller und gewöhnlicher Differentialgleichungen durch eine konsistente Diskretisierung in Raum und Zeit als Alternative zu den etablierten netzbasierten Verfahren vorgeschlagen. Die STMCM gehört zur Klasse der tatsächlich gitterfreien Methoden, die nur mit Punktwolken ohne a priori Netzkonnektivität arbeiten und kein Diskretisierungsnetz benötigen. Das Verfahren basiert auf der Interpolating Moving Least Squares Methode, die eine vereinfachte Erfüllung der Randbedingungen durch die von den Kernfunktionen erfüllte Kronecker-Delta-Eigenschaft ermöglicht, was beim größten Teil anderer netzfreier Verfahren nicht der Fall ist. Ein Regularisierungsverfahren zur Bewältigung des beim Aufbau der Kernfunktionen auftretenden Singularitätsproblems, sowie zur Berechnung aller benötigten Ableitungen der Kernfunktionen wird dargelegt. Ziel ist es dabei, eine Methode zu entwickeln, die die Einfachheit der Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen in starker Form mit den Vorteilen der gitterfreien Verfahren, insbesondere mit Blick auf gekoppelte Probleme des Ingenieurwesens mit sich bewegenden Grenzflächen, verknüpft. Die vorgeschlagene Methode wird zunächst zur Lösung linearer und nichtlinearer partieller sowie gewöhnlicher Differentialgleichungen angewendet. Dabei werden deren Konvergenz- und Genauigkeitseigenschaften untersucht. Die implizite Rekonstruktion der Gebiete mit komplizierten Rändern als Abbildungsstrategie zur Punktwolken-Streuung wird durch die Interpolation von Punktwolkendaten in zwei und drei Raumdimensionen demonstriert. Anhand der Modelle zur Simulation von Biofilm- und Tumor-Wachstumsprozessen werden Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Umweltwissenschaften und der Medizintechnik dargestellt.