Gibbs-Maße und Markov-Ketten

Ende der sechziger Jahre wurde die Idee der Gibbs-Maße als stochastische Felder von Dobrushin, Lanford und Ruelle geprägt. Das Ziel war eine mathematisch rigorose Beschreibung der statistischen Mechanik. Im Laufe der Zeit haben sich die Gibbs-Maße neben der Bedeutung für die Physik als reiche Theorie im Bereich der Stochastik erwiesen. So sind z. B. unter bestimmten Voraussetzungen Gibbs-Maße äquivalent zu Markov-Ketten. Ziel der Arbeit ist es den Begriff des Gibbs-Maßes verständlich einzuführen und erstmalig unterschiedliche Aspekte der Gibbs-Maße von der Definition als stochastisches Feld über stationäre Maße von Prozessen und zellularen Automaten bis zur Äquivalenz zu Markov-Ketten zusammenzustellen. Das ist in dieser Form und Themenauswahl bisher nicht geschehen, so dass Anfänger eine lange Einarbeitungszeit in das Gebiet der Gibbs-Maße benötigten und die Zusammenhänge zu anderen Bereichen der Mathematik verloren. Als besonders fruchtbar stellt sich die oben erwähnte Äquivalenz von Gibbs-Maßen und Markov-Ketten heraus. Dies zeigt sich z. B. in der Verwendung von Gibbs-Maßen bei der Analyse von DNS. Da der Autor das erste Staatsexamen für das höhere Lehramt in Mathematik und Physik gemacht hat und in Zukunft als Lehrer an Gymnasien arbeiten wird, schließt die Arbeit mit einem Kapitel zur Rolle von Markov-Ketten in der gymnasialen Oberstufe. Neben der Verbindung von Analysis, Lineare Algebra und Stochastik in der Oberstufe, bietet sich u. a. durch die unter bestimmten Voraussetzungen vorliegende Äquivalenz von Markov-Ketten und Gibbs-Maßen die Möglichkeit, fächerübergreifend zu unterrichten. Denn fasst man die Parametermenge der Markov-Kette als eine räumliche statt zeitliche Menge auf, so kommt man z. B. zum Ising-Modell.