# Efficient Numerical Methods for Fractional Differential Equations and their Analytical Background

Weilbeer, Marc

Efficient numerical methods for fractional differential equations and their theoretical background are presented. A historical review introduces and motivates the field of fractional calculus. Analytical results on classical calculus as well as special functions and integral transforms are repeated for completeness. Known analytical results on non-integer order differentiation and integrations are presented and corrected and extended where needed. On those results several numerical methods for the solution of fractional differential equations are based. These methods are described and compared to each other in detail. Special attention is paid to the question of applicability of higher oder methods and in connection the practical implementation of such methods is analyzed. Different ways of improvements of the presented numerical methods are given. Numerical calculations confirm the results which were deduced theoretically. Moreover, some of the presented methods are generalized to deal with partial differential equations of fractional order. Finally a problem of physics/chemistry is presented and some of the presented numerical methods are applied.

Effiziente numerische Methoden für fraktionale Differentialgleichungen und ihr theoretischer Hintergrund werden betrachtet. Ein historischer Rückblick liefert eine Einführung und Motivation in das Gebiet der fraktionalen Differential- und Integralrechnung. Analytische Ergebnisse der klassischen Differential- und Integralrechnung, sowie spezielle Funtktionen und Integraltransformationen werden zur Vollständigkeit wiederholt. Bekannte analytische Ergebnisse nicht-ganzzahliger Differentiation und Integration werden dargelegt und berichtigt und erweitert falls nötig. Auf diesen Ergebnissen beruhen mehrere numerische Methoden für die Lösung fraktionaler Differentialgleichungen. Diese Methoden werden detailliert beschrieben und untereinander verglichen. Besonderer Wert wird auf die Frage nach der Anwendbarkeit der Methoden höherer Ordnung gelegt und in diesem Zusammenhang die praktische Implementierung solcher Methoden untersucht. Verschiedene Möglichkeiten zur Verbesserung der beschriebenen Methoden werden vorgestellt. Numerische Berechnungen bestätigen die theoretisch hergeleiteten Ergebnisse. Des Weiteren werden einige der vorgestellten Methoden verallgemeinert, um auf partielle Differentialgleichungen fraktionaler Ordnung angewendet werden zu können. Letzlich wird ein Problem aus der Physik/Chemie vorgestellt und einige der dargestellten numerischen Methoden darauf angewendet.

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