Eigenwertzweige von Schrödinger-Operatoren in Lücken des wesentlichen Spektrums

Kayser, Tilo

doi:10.24355/dbbs.084-200511080100-98

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Eigenwertzweige von Schrödinger-Operatoren in Lücken des wesentlichen Spektrums

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In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit der asymptotischen Analyse des Spektrums von Schrödinger-Operatoren nach Ankoppeln eines skalaren Vielfachen eines kurzreichweitigen Störpotentials. Im Blickpunkt steht das diskrete Spektrum des gestörten Operators in einer Spektrallücke des ungestörten Operators für große Kopplungen. In der Festkörperphysik sind Störungen vom obigen Typ einfache Modelle für lokalisierte Verunreinigungen von Kristallen. Im Fall eines dotierten Halbleiters beeinflussen z.B. die zusätzlichen Eigenwerte in der Spektrallücke die Leitfähigkeit des Materials. Leitmotive für die Untersuchungen sind die Arbeiten von Ashbaugh, Harrell [AH82] und Gesztesy et. al [GGH+88]. Die Autoren analysieren gewisse eindimensionale Modellprobleme. Sie beobachten ein 'pinning'- bzw. 'trapping and cascading'-Phänomen und entwickeln im Fall einer Potentialbarriere die Eigenwertzweige in eine asymptotische Puiseux-Reihe. Die Methoden von [AH82, GGH+88] sind nicht auf höhere Raumdimensionen übertragbar. Dennoch weist das gestörte Spektrum gewisse Charakteristika der eindimensionalen Modelle auf. Allgemein analysieren wir den entkoppelnden Effekt der Barriere für große Kopplungsparameter. Mit Hilfe von Methoden von Agmon beweisen wir ein exponentielles Abklingen von Eigenlösungen in der Barriere. Weiter ist das Ausweichen von Eigenwertzweigen generisch für Störungen aus einem geeigneten Funktionenraum. Im Detail diskutieren wir einige rotationsinvariante Störungen. Im Barrierenfall finden wir den ersten Term einer asymptotischen Puiseux-Entwicklung und im Brunnenfall einen schwachen 'pinning'-Effekt des Spektrums. Schließlich geben wir ein Potential mit wechselnden Vorzeichen an, bei dem das Spektrum abwechselnd 'transistion-regions' und ausgedehnte 'Plateaus' ausbildet.

We investigate spectral properties of Schrödinger operators with a spectral gap, perturbed by a strongly coupled short-range potential. We are interested in the asymptotic analysis of eigenvalue branches situated in spectral gaps of the unperturbed operator. Potential perturbations of the above type yield simple models for semi-conductors or insulators with impurities. The position of the additional eigenvalues or impurity levels in the spectral gap influences the conductivity of the semi-conductor, for instance. Our investigations are motivated by articles of Ashbaugh, Harrell [AH82] and Gesztesy et. al. [GGH+88], where certain one-dimensional model problems are analyzed. One finds a Puiseux expansion of eigenvalue branches in the case of a repulsive perturbation and a 'pinning' resp. 'trapping and cascading' phenomenon in the case of attractive resp. mixed-sign potentials. The ODE-techniques of [AH82, GGH+88] are not applicable if the configuration space has dimension greater than one; nonetheless, we discover certain aspects of the 'trapping and cascading' phenomenon. We give a general discussion of the decoupling effect of the potential barrier. Here we establish an exponential fall-off of eigensolutions in the barrier using Agmon type techniques. We also find genericity of 'avoided crossing' of eigenvalue branches for perturbations in a suitable function space. Some spherically symmetric perturbations are discussed in more detail. We find the first term of an asymptotic Puiseux expansion in the case of a potential barrier. For a potential well we establish a 'weak pinning' of eigenvalue branches. Finally we find a mixed-sign potential which admits a sequence of parameter intervals where we can observe a 'transition' of the spectrum. These intervals are separated by relatively long intervals where the discrete spectrum is 'trapped' near the eigenvalues of a suitable Dirichlet Schrödinger operator.