Brauer-Severi-Varietäten und Normrelationen von Symbolalgebren

Henningsen, Frank

doi:10.24355/dbbs.084-200511080100-132

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Brauer-Severi-Varietäten und Normrelationen von Symbolalgebren

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Sei k ein Körper. Jeder endlichdimensionalen, zentraleinfachen k-Algebra A läßt sich eine Brauer-Severi-Varietät V(A) zuordnen, die das Zerfallsverhalten der Algebra spiegelt. Im einfachsten Fall korrespondieren Quaternionenalgebren A=(a,b) und projektive Kegelschnitte V:ax^2+by^2=z^2 mit a,b aus k. Ist K/k eine Körpererweiterung, so zerfällt A über K genau dann, wenn V einen K-rationalen Punkt hat. Dieser Zusammenhang gilt allgemein, doch ist - außer im oben erwähnten Beispiel - keine überschaubare Beschreibung von Brauer-Severi-Varietäten durch explizite Gleichungen bekannt. Solche Beschreibungen zu finden, war das Ziel dieser Arbeit. Eine Brauer-Severi-Varietät läßt sich als Durchschnitt einer Grassmann-Varietät und einer sogenannten Linksidealvarietät schreiben und letztere als Durchschnitt gewisser Eigenräume. Diese werden für verschränkte Gruppenalgebren A=(G,s) konkret bestimmt und führen zu sogenannten Ersetzungsrelationen. Diese ermöglichen bei der Beschreibung der Brauer-Severi-Varietät V(A) eine Reduzierung der Dimension (in Abhängigkeit von der Untergruppenstruktur von G) und der Zahl der V(A) definierenden Gleichungen. Im Fall einer Symbolalgebra vom Grad 3 reduziert sich die Dimension von 83 auf 11 und die Zahl der Gleichungen von ca. 18000 auf 138. Mit Hilfe dieser Ergebnisse und der Verallgemeinerung des Begriffs Plücker-Relation läßt sich ein Satz beweisen, der Brauer-Severi-Varietäten von Symbolalgebren in der gewünschten Weise birational beschreibt: Der Kegelschnitt ax^2+by^2=z^2 läßt sich als Normrelation N_K/k(z,x)=by^2 mit Norm N_K/k(z,x)=z^2-ax^2 eines von a abhängigen quadratischen Teilkörpers K von A schreiben. Dies gilt allgemeiner: Brauer-Severi-Varietäten von Symbolalgebren A sind birational äquivalent zu Normvarietäten von Teilkörpern von A.

Let k be a field. To every finite dimensional central simple k-Algebra A one can assign a Brauer Severi variety V(A) which reflects the splitting behaviour of A. In the simplest case quaternion algebras A=(a,b) correspond to projective conics V:ax^2+by^2=z^2 with a,b in k. If K/k is a field extension, A splits over K if and only if V has a K-rational point. This theorem is valid in general. However, Brauer Severi varieties had not been described by explicit equations, except in the case mentioned above. To find such a description was the aim of this thesis. A Brauer Severi variety can be written as the intersection of a Grassmannian and a so-called left ideal variety. The latter can be written as the intersection of some eigenspaces. These are determined explicitly for twisted group algebras A=(G,s) and lead to so-called substitution relations. For the description of the Brauer Severi variety V(A) they allow to reduce both its dimension (depending on the subgroup structure of G) and the number of equations defining V(A). In the case of a symbol algebra of degree 3 the dimension can be reduced from 83 to 11 and the number of equations from ca. 18000 to 138. On the basis of these results and the generalization of the notion Plücker relation, a theorem is proven that describes Brauer Severi varieties of symbol algebras in the desired way: The conic ax^2+by^2=z^2 can be written as a norm relation N_K/k(z,x)=by^2 with the norm N_K/k(z,x)=z^2-ax^2 of a quadratic subfield K of A which depends on the scalar a. This is valid more generally: Brauer Severi varieties of symbol algebras A are birationally equivalent to norm varieties of subfields of A.