Least-Squares Methods for the Solution of Fluid-Structure Interaction Problems
Different numerical methods have been proposed for the solution of partial differential equations (PDE). Most of them are based on a variational principle which recasts the PDE into an equivalent integral equation. One of the most common principles is the Galerkin method, which has some specific disadvantages for some types of PDE. In this work an alternative variational principle, the least squares finite element method, will be tested with respect to its application for transient fluid-structure interaction problems. The accurracy of different formulations which were proposed for the Navier-Stokes equations in literature will be tested. In a next step these formulations will be coupled with a standard Galerkin approach for the structure. After that a new formulation for the linear equations of elastodynamics is developed and analysed with respect to its stability and accuracy. With this formulation it is possible do develop a pure least squares formulation for the strongly coupled fluid-structure problem. Finally the different formulations are tested with respect to their accuracy and efficiency.
Zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDE) sind verschiedene numerische Verfahren vorgeschlagen worden. Die meisten basieren auf einem Variationsprinzip, das die PDE in eine äquivalente Integralgleichung überführt. Ein häufig verwendetes Variationsprinzip ist das Galerkin Verfahren, das jedoch für bestimmte Gleichungstypen Nachteile aufweist. In dieser Arbeit wird die Eignung eines alternativen Variationsprinzips, der Least-Squares Finite Elemente Methode, zur Lösung von instationären Fluid-Struktur Interaktionsproblemen untersucht. Dazu werden verschiedene Formulierungen für die Navier-Stokes Gleichungen, die in der Literatur vorgeschlagen wurden auf ihre Genauigkeit hin untersucht. Diese Formulierungen für die Navier-Stokes Gleichungen werden danach zunächst mit einer klassischen Galerkin Formulierung für die Struktur gekoppelt. Um eine reine Least-Squares Formlierung des gekoppelten Systems zu erhalten wird eine neue Formulierung für die instationären Gleichungen der linearen Elastizität entwickelt und analysiert. Hiermit wird dann eine stark gekoppelte reine Least-Squares Formulierung für Fluid-Struktur Probleme entworfen. Die verschiedenen entwickelten Formulierungen werden schließlich mit verschiedenen Beispielen auf ihre Genauigkeit und Effizienz hin untersucht.
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